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個人的数学ノート

個人的に数学勉強した内容を書きしたためるノート

インドの数学ジャーナルで、ラマヌジャンが出題した問題(高校生レベル)



学校で始めて出現する無限表現

今はどうかわからないけれど、高校生で初めて無限表現というのが出現すると思います。

{ \displaystyle 0.99999・・・ = 1 }

これって始めてみると不思議な感じがしますね。
ちょっと前にネットで、以下の議論がなされたぐらいです。

{ \displaystyle \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 } は、間違っているじゃないか?!」

と話題になったぐらいです。その根拠は、

{ \displaystyle 0.99999・・・ < 1 } だよね?だったら、
{ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 0.3333・・・ + 0.6666・・・ = 0.9999・・・ < 1 }
だよね?」

というお話です。
結局頭の等式の話なんですが、腑に落ちない人も多いみたいです。
1860年にドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスという人がε-δ論法の確立ということで、
終止符を打つことになりました。

ある数字に限りなく近づくという表現(この例だと0.9999・・・)とその数字そのもの(この例だと1)は違うというお話で、
ニュートンが初めて微分積分で提唱し、ライプニッツオイラーの貢献があり、カールが1860年に終止符まで、
当時の数学の専門家は先頭の等式を厳密に理解できなかった方も多かったとのことです。
カールが終止符を打つまでは、哲学論的な議論が錯綜し、混沌とした解釈論争に悪戦苦闘した時代でした。

1860年以前の時代にいたラマヌジャン

ラマヌジャンは、カールが決着をつけた1860年以前且つ教育をちゃんと受けていないにも関わらず、
この無限表現を正しく理解し、新たな結果を出し続けていました。
なので、近日公開された「軌跡のくれた数式」は、原作本や映画の英名が「The Man Who Knew Infinity」(無限の知る人)となっています。
残念ながら映画上では、ラマヌジャンの一番の成果である無限級数(ラマヌジャンτ関数など)には触れられませんでしたが、
分割数(Partition Number)の成果については語られていました。
分割数についてはあまりに有名なので、興味があれば検索してみてください。分割数からなんでこんな式を導いたの?!って驚きます。
また、ラマヌジャン全集(Collected Papers of Srinivasa Ramanujan https://www.amazon.co.jp/Collected-Papers-Srinivasa-Ramanujan/dp/1107536510/ref=tmm_pap_swatch_0?_encoding=UTF8&qid=&sr= )という本が、
アマゾンでペーパバックになって、日本でもお手頃に手に入るようになりました。
ラマヌジャンケンブリッジ大学に招待した数学者ハーディーへの手紙やラマヌジャンのノートや、ラマヌジャンの生涯の発表論文が載っています。

インドの数学ジャーナルで、ラマヌジャンが出題した問題

インドの数学ジャーナルで、ラマヌジャンが出題した問題です。興味のある方は、挑戦してみましょう。
高校生レベルで、答えと証明ができます。ただし、若干の直感と閃きが必要です。

問 289

以下はいくつでしょうか?また、証明しましょう。

{ \displaystyle \sqrt{1+2 \sqrt{ 1+3 \sqrt{ 1+4\sqrt{ 1+5\sqrt{・・・}}} }} = ? }

{ \displaystyle \sqrt{6+2 \sqrt{ 7+3 \sqrt{ 8+4\sqrt{ 9+5\sqrt{・・・}}} }} = ? }

ラマヌジャンの発想の面白さが垣間見ることができるでしょう。