読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

個人的数学ノート

個人的に数学勉強した内容を書きしたためるノート

$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$ をどう理解すればいいのか?



$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$という表現は、確かに誤っている。

前回の謎の等式について、雰囲気だけでもわかるように、自分の頭整理のため、書き残す。
$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$という表現は、確かに誤っている。
しかし、過去の有名数学者オイラーラマヌジャンは、この数式を滅茶苦茶な計算をして引き出し、憑りつかれていたのである。
これは、この数式と素数が密接な関係があることと、素数と円周率、つまり自然界の美の象徴とも言える円と関係も同時に見出している。
つまり、この式に何か自然界の未知の原理を知ることが、できるのではないか?と考えたのかもしれない。
これは、現代では リーマンζ(ゼータ)関数の値、$$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$$で厳密に表現されている。

リーマンζ関数の定義について

リーマンζ関数の定義とは、以下の式だと思い込んでいる方々が多い。
$$ \zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
これだけだと厳密に言うと誤り。このsに、-1を代入すると、最初の式になってしまう。
ここで登場してくるのが、解析接続。
正確には、複素数関数
$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
を解析接続で得られるs=1の時以外発散しない関数を、リーマンζ関数と呼ぶ。

じゃあ、解析接続ってやつで得られる式を書けばいいじゃんって思っちゃいますが、
具体的に書くととてつもなく複雑で、
$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
の式からスタートして、解析接続する過程も含めて説明することで、
リーマンζ関数と素数が関連していて、現代数学の最大の難問リーマン予想の問題そのものと解く意味が理解できるのです。

解析接続とは、何者か?

じゃあ、解析接続ってどういったものか?というのを定義を見ると、
複素数関数での世界の言葉なのだが、ある本の定義をそのまま書いてみる。
複素数関数fを領域Dで正則とする。正則性を保ってfの定義域をさらに広げ、正則関数gが得られるとき、gはfの解析接続という。」
正則っていうのが出てくるので、正則の定義もそのまま書いてみる。
複素数関数fが領域Dのすべての点で複素微分可能かつ微分した関数がDがDで連続の時、fはDで正則であるという。」
これは、大雑把にいうと「正則関数=滑らかな(角が無く繋がっている)関数」と思ってくれてほぼ間違いない。

これでは、さっぱりだと思うので、解析接続のわかりやすい例として、高校で習う等比級数の和がある。
$$ T(s) = 1+s^1+s^2+s^3+s^4+s^5・・・・ $$
これは、$0 \lneq |s| \lneq 1$の時にしか意味をなさない。しかし、その限られた領域前提で計算してしまうと・・・
$$ T(s) = \frac{s^\infty-1}{s-1} = \frac{-1}{s-1}$$ $$(s^\inftyが、0になるので)$$
となり、最右の式は、正則(滑らか)であり、$s=1$以外値を持つ式が出来た。
これで、解析接続できたという。

さらに、リーマンζ関数について大雑把に説明してみると・・・

$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
は、sが1以下の時は発散するが、半ば強引に意味のある値があるような領域を広げるような正則関数(大雑把に言うと滑らかな関数)を、捻出して、
$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
が、意味のある領域と一致していれば、解析接続出来たといえることになる。

一見この計算は、ハチャメチャに見える。
しかし、この正則(滑らか)という性質と意味のある値の領域で新たに作った関数が一致するということさえ守られれば、
どんなハチャメチャに見える計算をしても、必ず一致するということが、複素数関数で証明されている。
これを、複素数関数の一致定理と呼ばれる。
だからこんなことをしても、問題ない。
むしろ、必ず一致するということがわかっているのなら、無理やりにでも意味のある値を持つ領域が広い関数を作ろうということは、自然なことと思えるという発想なわけである。

ここまで来て、やっと何となく机上の空論に見えるかもしれないが、解析接続は関数に対して行う行為は、自然な発想になる。

さらに解析接続の可能性について

物理学は、現象観察から関数という形で法則にする。
そこで法則にした関数が、限られた条件でしか意味をなさなかったりする。
それを解析接続すると、意味を成す条件が広がり、関数の見え方も変わってくる。
そうなると、その解析接続した関数から現象を見直してみると、本質が違うのかもしれないとか発想が生まれ、新たな発見に繋がるかもしれない。
そもそも、元々考えていた法則の考え方自体誤っていたと思うのが自然な気がする。

やはり、現象だけを眺めても人間の発想には限界がある。その限界突破の糸口として、色んな分野に応用できるのかもしれない。
実際量子力学では、無限の折り込みという形で表れている。

こういった解析接続という論理があるというのを知っているだけで、視野が広がるのかもしれないと思う。
量子力学だけでなく数式が出てくる他の分野、経済学など応用の可能性は0とは言えないと思いたい。

まとめると・・・

解析接続で作り出されたリーマンζ関数の値
$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$
と見えてしまう
$$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$$
は、素数と関連がある。(もう少し前提を補足したいが、長くなるのでとりあえずやめる)
この解析接続という行為は、複素数関数では滑らかである区間内の値が一致するという条件を満たしてさえいれば、どんな解析接続のやり方をしても一致することから、自然なこと。
リーマンζ関数は、円周率が現れることから、自然界の美の象徴の円と関係がある。だから、リーマンζ関数は魅力的であると感じている。

解析接続というものが、やはり難解な概念だと思っていて、数学専攻の大学生でも意味わからないなぁ~って思っている方が多いと思う。
しかし、物事の本質をつかむ手法として、解析接続は大事な概念だと個人的に考えている。
少しでも取っ掛かりになれば、幸いです。