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個人的数学ノート

個人的に数学勉強した内容を書きしたためるノート

インドの数学ジャーナルで、ラマヌジャンが出題した問題(高校生レベル)



学校で始めて出現する無限表現

今はどうかわからないけれど、高校生で初めて無限表現というのが出現すると思います。

{ \displaystyle 0.99999・・・ = 1 }

これって始めてみると不思議な感じがしますね。
ちょっと前にネットで、以下の議論がなされたぐらいです。

{ \displaystyle \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 } は、間違っているじゃないか?!」

と話題になったぐらいです。その根拠は、

{ \displaystyle 0.99999・・・ < 1 } だよね?だったら、
{ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 0.3333・・・ + 0.6666・・・ = 0.9999・・・ < 1 }
だよね?」

というお話です。
結局頭の等式の話なんですが、腑に落ちない人も多いみたいです。
1860年にドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスという人がε-δ論法の確立ということで、
終止符を打つことになりました。

ある数字に限りなく近づくという表現(この例だと0.9999・・・)とその数字そのもの(この例だと1)は違うというお話で、
ニュートンが初めて微分積分で提唱し、ライプニッツオイラーの貢献があり、カールが1860年に終止符まで、
当時の数学の専門家は先頭の等式を厳密に理解できなかった方も多かったとのことです。
カールが終止符を打つまでは、哲学論的な議論が錯綜し、混沌とした解釈論争に悪戦苦闘した時代でした。

1860年以前の時代にいたラマヌジャン

ラマヌジャンは、カールが決着をつけた1860年以前且つ教育をちゃんと受けていないにも関わらず、
この無限表現を正しく理解し、新たな結果を出し続けていました。
なので、近日公開された「軌跡のくれた数式」は、原作本や映画の英名が「The Man Who Knew Infinity」(無限の知る人)となっています。
残念ながら映画上では、ラマヌジャンの一番の成果である無限級数(ラマヌジャンτ関数など)には触れられませんでしたが、
分割数(Partition Number)の成果については語られていました。
分割数についてはあまりに有名なので、興味があれば検索してみてください。分割数からなんでこんな式を導いたの?!って驚きます。
また、ラマヌジャン全集(Collected Papers of Srinivasa Ramanujan https://www.amazon.co.jp/Collected-Papers-Srinivasa-Ramanujan/dp/1107536510/ref=tmm_pap_swatch_0?_encoding=UTF8&qid=&sr= )という本が、
アマゾンでペーパバックになって、日本でもお手頃に手に入るようになりました。
ラマヌジャンケンブリッジ大学に招待した数学者ハーディーへの手紙やラマヌジャンのノートや、ラマヌジャンの生涯の発表論文が載っています。

インドの数学ジャーナルで、ラマヌジャンが出題した問題

インドの数学ジャーナルで、ラマヌジャンが出題した問題です。興味のある方は、挑戦してみましょう。
高校生レベルで、答えと証明ができます。ただし、若干の直感と閃きが必要です。

問 289

以下はいくつでしょうか?また、証明しましょう。

{ \displaystyle \sqrt{1+2 \sqrt{ 1+3 \sqrt{ 1+4\sqrt{ 1+5\sqrt{・・・}}} }} = ? }

{ \displaystyle \sqrt{6+2 \sqrt{ 7+3 \sqrt{ 8+4\sqrt{ 9+5\sqrt{・・・}}} }} = ? }

ラマヌジャンの発想の面白さが垣間見ることができるでしょう。

解析接続という概念が、現代物理学の超弦理論を生んだ

無限大の値を有限の値に意味づけする解析接続の意義の紹介

前回無限大の値を有限の値に意味づけする解析接続が、超弦理論という形で大進歩を遂げています。(もう少し踏み込んでいると、リーマンζ関数の一般的に考えたζ関数の理論なのですが)
ちょうどNHK番組がYouTubeに上がっていたので、紹介です。

youtu.be

一般相対性理論素粒子理論が、統一を成し遂げている。
現在の物理学では、今住んでいる世界は、10次元であるとされています。
驚きですね。

NHKもこういったものを、積極的にオンデマンドやBlueRay教材として販売すれば、受信料とか頑張らなくていいのにと思ったり・・・

$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$ をどう理解すればいいのか?



$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$という表現は、確かに誤っている。

前回の謎の等式について、雰囲気だけでもわかるように、自分の頭整理のため、書き残す。
$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$という表現は、確かに誤っている。
しかし、過去の有名数学者オイラーラマヌジャンは、この数式を滅茶苦茶な計算をして引き出し、憑りつかれていたのである。
これは、この数式と素数が密接な関係があることと、素数と円周率、つまり自然界の美の象徴とも言える円と関係も同時に見出している。
つまり、この式に何か自然界の未知の原理を知ることが、できるのではないか?と考えたのかもしれない。
これは、現代では リーマンζ(ゼータ)関数の値、$$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$$で厳密に表現されている。

リーマンζ関数の定義について

リーマンζ関数の定義とは、以下の式だと思い込んでいる方々が多い。
$$ \zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
これだけだと厳密に言うと誤り。このsに、-1を代入すると、最初の式になってしまう。
ここで登場してくるのが、解析接続。
正確には、複素数関数
$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
を解析接続で得られるs=1の時以外発散しない関数を、リーマンζ関数と呼ぶ。

じゃあ、解析接続ってやつで得られる式を書けばいいじゃんって思っちゃいますが、
具体的に書くととてつもなく複雑で、
$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
の式からスタートして、解析接続する過程も含めて説明することで、
リーマンζ関数と素数が関連していて、現代数学の最大の難問リーマン予想の問題そのものと解く意味が理解できるのです。

解析接続とは、何者か?

じゃあ、解析接続ってどういったものか?というのを定義を見ると、
複素数関数での世界の言葉なのだが、ある本の定義をそのまま書いてみる。
複素数関数fを領域Dで正則とする。正則性を保ってfの定義域をさらに広げ、正則関数gが得られるとき、gはfの解析接続という。」
正則っていうのが出てくるので、正則の定義もそのまま書いてみる。
複素数関数fが領域Dのすべての点で複素微分可能かつ微分した関数がDがDで連続の時、fはDで正則であるという。」
これは、大雑把にいうと「正則関数=滑らかな(角が無く繋がっている)関数」と思ってくれてほぼ間違いない。

これでは、さっぱりだと思うので、解析接続のわかりやすい例として、高校で習う等比級数の和がある。
$$ T(s) = 1+s^1+s^2+s^3+s^4+s^5・・・・ $$
これは、$0 \lneq |s| \lneq 1$の時にしか意味をなさない。しかし、その限られた領域前提で計算してしまうと・・・
$$ T(s) = \frac{s^\infty-1}{s-1} = \frac{-1}{s-1}$$ $$(s^\inftyが、0になるので)$$
となり、最右の式は、正則(滑らか)であり、$s=1$以外値を持つ式が出来た。
これで、解析接続できたという。

さらに、リーマンζ関数について大雑把に説明してみると・・・

$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
は、sが1以下の時は発散するが、半ば強引に意味のある値があるような領域を広げるような正則関数(大雑把に言うと滑らかな関数)を、捻出して、
$$ \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+・・・・ $$
が、意味のある領域と一致していれば、解析接続出来たといえることになる。

一見この計算は、ハチャメチャに見える。
しかし、この正則(滑らか)という性質と意味のある値の領域で新たに作った関数が一致するということさえ守られれば、
どんなハチャメチャに見える計算をしても、必ず一致するということが、複素数関数で証明されている。
これを、複素数関数の一致定理と呼ばれる。
だからこんなことをしても、問題ない。
むしろ、必ず一致するということがわかっているのなら、無理やりにでも意味のある値を持つ領域が広い関数を作ろうということは、自然なことと思えるという発想なわけである。

ここまで来て、やっと何となく机上の空論に見えるかもしれないが、解析接続は関数に対して行う行為は、自然な発想になる。

さらに解析接続の可能性について

物理学は、現象観察から関数という形で法則にする。
そこで法則にした関数が、限られた条件でしか意味をなさなかったりする。
それを解析接続すると、意味を成す条件が広がり、関数の見え方も変わってくる。
そうなると、その解析接続した関数から現象を見直してみると、本質が違うのかもしれないとか発想が生まれ、新たな発見に繋がるかもしれない。
そもそも、元々考えていた法則の考え方自体誤っていたと思うのが自然な気がする。

やはり、現象だけを眺めても人間の発想には限界がある。その限界突破の糸口として、色んな分野に応用できるのかもしれない。
実際量子力学では、無限の折り込みという形で表れている。

こういった解析接続という論理があるというのを知っているだけで、視野が広がるのかもしれないと思う。
量子力学だけでなく数式が出てくる他の分野、経済学など応用の可能性は0とは言えないと思いたい。

まとめると・・・

解析接続で作り出されたリーマンζ関数の値
$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$
と見えてしまう
$$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$$
は、素数と関連がある。(もう少し前提を補足したいが、長くなるのでとりあえずやめる)
この解析接続という行為は、複素数関数では滑らかである区間内の値が一致するという条件を満たしてさえいれば、どんな解析接続のやり方をしても一致することから、自然なこと。
リーマンζ関数は、円周率が現れることから、自然界の美の象徴の円と関係がある。だから、リーマンζ関数は魅力的であると感じている。

解析接続というものが、やはり難解な概念だと思っていて、数学専攻の大学生でも意味わからないなぁ~って思っている方が多いと思う。
しかし、物事の本質をつかむ手法として、解析接続は大事な概念だと個人的に考えている。
少しでも取っ掛かりになれば、幸いです。

天才中の天才 数学者ラマヌジャンの映画(The Man Who Knew Infinity) 2016年日本公開!



無限を知る人 ラマヌジャン

私は、ラマヌジャンという大数学者の大ファンである。
尊敬はしないけど(笑)、まさに、天才、鬼才、神の子という言葉に
ここまで合う人間はいないだろう。
ラマヌジャンは、そもそもちゃんとした教育を受けていないにもかかわらず、
当時の最高の数学者といわれたハーディーやリトルウッドが、
歯が立たないと言わらしめた人物なのだ。

ラマヌジャンの特徴は、無限という存在に魅力を感じ、
世の中を理解するうえで重要なものだと考えて、自分なりに研究していた。

ラマヌジャンの代名詞とも言える有名な等式がある。

$$ 1+2+3+4+5+・・・・ = - \frac{1}{12} $$

これは、何も理がなければ、
左の計算をすると限りなく大きくなるわけであるし、
そもそも左にマイナスになる要素が無いのだから、
誤りである。
しかし、複素関数論という数学の分野があるのだが、
その分野で$\zeta$関数という関数を考えると、
解析接続という概念を使うと例の等式が成り立つのだ。
これが、無限を知る人と言われる由縁である。

ただこれだけの説明だけだと数字のお遊びになるのだが、
量子力学の「無限の折り込み」という概念があり、
ミクロな世界の現象を調べると、例のような等式が
必要不可欠なことが分かっている。

これは最近わかったことで、
ラマヌジャンの時代には誰もわかっていないことだが、
ラマヌジャンには何かが見えていたのだろう。

これは、ただの一例でラマヌジャンは、
常人には理解できないようなメモを遺している。

興味がある方は、是非ともgoogle検索でラマヌジャンを検索してみてみてほしい。
また、複素関数論の解析接続という概念は、
無限そのものを知りたい方、量子力学を学ぶ方には、是非とも知ってもらいたい。

それだけで、新たな扉が開かれることは間違いないと思う。

折角、ラマヌジャンの映画が公開されることもあるので、
そのうち解析接続をかみ砕いた説明とその新たな発見の可能性について、
書けるといいかなと思う。

数字の種類について



数字の種類と意義

何はともあれ、数字の定義を列挙します。

自然数

数字の起源は、モノを数えるという行為です。
その行為を表現するものとして、1,2,3,4,5・・・が存在します。
これが、自然数といわれるもので、
自然数の集まりは、$$N$$と表現されます。

分数、小数、有理数

果物でも、水でもなんでも、分割できるものが自然界には存在します。
それから分割する行為を分数で表現することになります。
建造物を作るという行為にも波及し、長さにも数字が使われるようになりました。
それで、分数、小数という表現が現れ、現代ではそれらを有理数と呼ばれており、
その集まりを$$Q$$と表現されます。

自然数の定義から数学の面白さを説明してみる

高校数学を勉強した方は、当たり前で思われるかもしれませんが、定義を起源から見つめなおすと奥深いものです。
自然数をはじめとして数字は、10進法(10で一の位が上がること)で表現されます。
これは万国共通だと思われがちですが、フランスは古典数学では10進法と20進法(20で一の位があがること)が混在され表現されていました。
何故10進法かというと、最有力の理由は、人間の手の指が10本だからだと言われています。
フランスは、足の指まで考慮したため、10進法、20進法が混在されることになったと言われています。
つまり、10進法という表現は人間の造りから由来していて、何か理論に基づいたものではないのです。
# 実際人間の指が何故10本かという根拠が、研究され明確にされると何か見えるかもしれません。

数学の定義には、歴史的、戦略的、政治的、自然学的に様々な要因で生まれています。
私個人的な意見としてですが、定義の起源をしっかり把握することで、
数学の深みや意味をちゃんと見出すことになると考えています。
数学って、世の中にあまり役に立たないとか、机上の空論という方には、
あまりこの辺りの感覚がないのかと思っています。
それを見つめなおすだけでも、数学の理解度や面白さが大きく変わってくるものと私は思います。

高校数学まで習う定義は、殆どが歴史的要因で決められたものばかりで、
それしか見てこなければ、そういうものとしか考えられないのは仕方がないと思います。

しかし、大学数学になると、それから一変します。
ある自然現象に対して、戦略的に定義を定め、論理を整理し研究することで定理が生まれ、
自然現象の本質を見出す行為が、数学なのです。
それがわかるかたちで、ラングランズ予想やリーマン予想ポアンカレ予想を理解出来たら、
きっとあなたの頭の中で、壮大な自然現象の原理が頭に思い浮かぶことでしょう。
この辺りが見えるノートになればいいかなと思う次第です。
これは、電卓はもちろんコンピュータが進歩させるのは、大変難しいことです。

少しは、数学の面白さが見えましたでしょうか?

次回

引き続き、まだ説明していない数字の種類についての続きです。

数学は、何故難しいとされるのか?を考えながら復習を始めてみる。

私は、学生時代数学を専門に大学院まで勉強していました。
ですが、就職してからは遠ざかり、はや10年。

しかし、最近NHKの白熱教室でカルフォルニア大学のエドワード・フレンケル数学教授の
講義を観て、数学の面白しさを思い起こしてくれました。

それに影響されて、再度勉強しなおすことにしました。
その復習がてらノートをブログに書くことにしました。

どこからスタートし、どこをゴールとするかを考えた結果、
復習は、初等数学から素数定理、リーマンゼータ関数とその性質、
未解決問題のリーマン予想、ラングランズ予想(別名、非可換類対論予想)までとし、
自分自身で頑張るところはゼータ関数の何かその時の気分で書き綴ります。

補足ですが、ラングランズ予想は壮大な予想であり、有名なフェルマーの最終定理はこの予想の一部であり、
数学という垣根を超え、量子物理学とも大きな関係を持ったものです。
(ロマンが詰まってますw)

また、以前より学校の数学の教え方には疑問を感じており、
高校数学までの数学は、正直つまらない。
真におもしろさは大学に入って、ある程度勉強した先にあると 私は思いました。
しかし、その内容は難しいわけではなく、
高校まで習った数学の先入観や印象が大きく阻害しているように思えます。

よく大学で学ぶ内容について、

  • 化学は物理になる
  • 物理は数学になる
  • 数学は哲学になる

なぁんて、いわれちゃう。
高校数学まで面白かったけど、 大学に入って初めての講義でつまづいた人も多く見てきました。

  • 基礎数学 ⇒ 集合、写像、位相とは・・・。
    どの辺が数学なの?何語ですか?!
  • 整数論、数論、代数学 ⇒ 群、環、作用
    どこに数字がでてくるの?!なんかイメージわかないんですけどw
  • 幾何学 ⇒ 多様体、多次元・・・とは・・・
    図形でてこないじゃん?!多次元って、4次元以上考える意味ってなに?!
  • 解析学 ⇒ イプシロンデルタ論法・・・
    記号が意味不明?!何がいいたいんですか?!

な感じになって、挫折しちゃった人多いんじゃないかと。
特に最近高校数学で学ぶ範囲が減ったこともあり、
最近の数学専攻の新大学生は苦しんでいるのではないかとよく思います。
その架け橋になるような書き方にすることを心がけます。
目に留まった人が、少しでも数学が面白いと思ってもらたら嬉しいかな。

そのため、あまり厳密性を考えずに概念理解重視に書きます。
間違ってることが多々あるかもしれませんが、その辺はご愛敬でw

色々意味不明な単語が並んでいるかと思いますが、
基本的に内容は、素数に特化した内容になります。
しかし、素数を突き詰めていくと、代数学だけではダメで、
解析学幾何学をある程度ちゃんと理解しなければなりません。
これはこれで、面白い部分でもあるのですがw

初回テーマは、「数字の種類について」の予定です。